| 〔質問〕 例えば、 y＝－3x2＋6x＋5 のグラフの頂点を求める際に、 ＝－3(x2－2x＋1)＋3＋5 ＝－3(x－1)2＋8 という変形をしますが、これをする意味がわかりません。 |
| 〔回答〕 原点を頂点とするグラフ（y＝－3x2）と比較して、どれだけズレているかを調べるためです |
まず、y＝－3x2＋6x－3 について考えてみます。
右辺を因数分解をすると、y＝－3(x－1)2 になります。
y＝－3x2＋6x－3 は、y を求める際に、一旦 x から 1 を引いて 2乗して、－3 をかければいいということになります。
つまり、頂点が原点である y＝－3x2 という関数に対して、x が 1 ズレているということです。
ですので頂点の x座標に関しても、(0, 0) から 1 だけズレているということがわかるのです。
※ 符号に関してはこちらの動画をご覧ください。
あと、頂点の y座標に関しては、
① y＝－3(x－1)2＋8 と
② y＝－3(x－1)2 を比較すると、
① は ② に 8 を加えたもの、ということがわかります。ですので頂点の y座標に関しては、(0, 0) から 8 ズレているということになります。
というわけで、元の２次関数 y＝ax2＋bx＋c を無理矢理 y＝a(x－p)2＋q に変形すると、
y＝ax2＋bx＋c は y＝ax2 から (p, q) だけ平行移動させたものということがわかり、
ということは頂点も (0, 0) からそれだけ移動しているということになって、
y＝ax2＋bx＋c の頂点は (p, q) だということがわかる、という理屈です。
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