【質問】数学Ⅰ:2次不等式(4-x2≧0)の解について

〔質問〕
なぜ 4-x2≧0 を変形すると -2≦x≦2 となるのですか?
〔回答〕
いろいろ考え方はありますが、オーソドックスなのは、不等号に気をつけて移項して(x2-4≦0)、因数分解すると (x-2)(x+2)≦0 となり、-2≦x≦2 となります(さらにこうなる理由は下記の通りです)

 

詳細

(1)(x-2)(x+2)≦0 となった後については、
この式が意味するのは、(x-2) と (x+2) をかけた結果が 0 以下、ということですので、
① x-2≦0 かつ x+2≧0
  または
② x-2≧0 かつ x+2≦0
のいずれかを満たせばいいことになります。

ただ、今回に関しては、② を満たすような x は1つも存在せず、① の方だけで構いません。
つまり、 x≦2 かつ x≧-2 となれば、(x-2)(x+2) は「0以下」×「0以上」となって、結果「0以下」ということになります。
 
(2)直接2乗の処理をする
与式は変形すると、x2≦4 にもなりますが、これは「2乗したものが2以下となるのは?」と聞かれていることを意味します。
ですので、数直線をイメージしてもらって、-2 から 2 までの間、と考えてもらっても構いません。

ただ、ついつい、x2≦4 から、0≦x≦2 としてしまうかもしれません(これは誤り)。数学に自信がない人ほど、(1)の因数分解する方法で解いてください
 
(3)2次関数のグラフを考える
f(x)=4-x2 とおくと、与えられたもともとの不等式(4-x2≧0)は、この関数が「x軸の上側にあるのはいつ?」と聞いていることを意味します。
今回は下に凸の放物線ですので、x軸との交点を求めてその間、としてもらっても結構です。

 

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