回答

① in which …
the way in which S V … で「…する方法・やり方」という意味になります。
よって「シェークスピアが英語を使っているさまざまな方法［シェークスピアの英語のさまざまな使い方］を研究することによって」というように by studying 以下は訳せます。

※ the way S V …
＝ the way in which S V …
＝ how S V …

② no＋than
まずは次の例文を参考にしてみてください。

Nothing is more precious than health.
「健康ほど大切なものはない」

注目してもらいたいのは、主語に ＜no＋名詞＞ がある点です。
比較級の英文の主語に ＜no＋名詞＞ がある場合は、than 以下のものが「１番〜だ」を表しています。
つまり、この例文は「健康が１番大切だ」ということを表している（「健康」以上に大切なものはない）ことになります。

今回質問をいただいた英文は There is S. の構造になっていて、S の部分に no better way と ＜no+名詞＞ がきています。
つまり「『than ～ 』より、よい方法はない」となり、「シェークスピアの英語のさまざまな使い方を研究することが、〜する１番よい方法だ」という意味になります。

【追加事項】
no better way 以下は、for a foreigner が to appreciate 以下の意味上の主語（「外国人が」appreciateする）となり、to appreciate 以下は不定詞の形容詞的用法で no better way を修飾しています。

これで理解できたでしょうか？もしまだ分からないことがあれば、気軽に質問してくださいね。