ex/x の極限(x→∞)はどう求めればいいですか?(lim e^x/x)

〔質問〕
y=ex/x のグラフを書きたいのですが、x→∞ の極限はどう求めればいいですか?
〔回答〕
通常、グラフを書くことまでが求められる問題なら、この極限は注記が与えられます。
面積を求める問題なのであれば、増減と、x軸との交点の有無だけ調べて、積分の計算に移ればいいです。

それを踏まえた上で、極限の判断だけ(答えだけ)をするのであれば、
・分子:ex と、分母:x の増加ペースを比較する(指数関数の方が圧倒的に勝つ)か、
・ロピタルの定理で判断を行ってください

正式な答案として導くのであれば、
まず ex>1+x+x2/2 が成り立つことを証明して(f(x)=ex-(1+x+x2/2) のグラフを考える)、
その後、両辺をxで割って(ex/x>1/x+1+x/2)、はさみうちの原理(正確には追い出しの原理)から、ex/x→∞を示してください

 

※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります

 
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