【質問】数学:n9乗-n3乗は9の倍数であることを証明せよ、について

〔質問〕
「任意の整数 n に対して n9-n3 は9の倍数であることを証明せよ」
この問題で3で割った余りで考えるほうがよいのはなぜですか?
〔回答〕
9で割ったあまりで考えるときは9通りの場合分けが必要になりますが、できればそれを避けたい、という思考回路からきているんですが、
 
もし n9-n3 を n3(n6-1) というようにくくれたとすれば、n3 の部分が連続する3整数ですから必ず3の倍数を含みます。
これを踏まえれば、n6-n1 の方も3の倍数であることさえ言えれば、両方合わせて9の倍数ということが言えるようになる、ということで、場合分けが3通りですむことになります。
 
 
※ 追記
・n3 の部分は自動的に3の倍数
・n6-1 が3の倍数であることが言えればよい
→ 倍数の証明では、ふつう「n=3k+1 のとき」のような場合分けをして代入するのが一般的
 
ですので、n6-1 のところに
・n=3k のとき
・n=3k+1 のとき
・n=3k+2 のとき
の3通りを代入して検証すればそれで示せる、ということです

 

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