| 〔質問〕 次の方程式をみたす整式 f(x) を求めよ x・f(x)＋∫f(x)dx＝3x2＋6x＋2 この問題が解説を読んでもわかりません |
| 〔回答〕 f(x) を一般化した「n次式」と定めて、そこからの式変形によって解こうとすると大変ですが、 今回の場合、x・f(x)＋∫f(x)dx の結果である 3x2＋6x＋2 が「たかだか２次式」ですから、f(x) が何次式かがすぐにわかります。それを利用してあげるという方針でいきます。 （無理にスマートに解こうとしすぎない方がいいタイプの問題） まず、何次式かを探ります。 一旦、f(x) を「n次式」と定めてみると、 左辺について、x・f(x) は「n＋1次式」、∫f(x)dx は積分によって次数がく１つ繰り上がるので「n＋1次式」となり、左辺全体で「n＋1次式」となります。（問題文で ∫f(x)dx の部分が定積分になっている？のであっても、同じく n＋1次式） 一方、右辺（3x2＋6x＋2）は「2次式」なわけですが、もちろん「左辺＝右辺」より、次数に関して「n＋1次式」＝「2次式」となり、n＝1 とわかります。 それであれば、f(x)＝ax＋b という形でおいてしまって、これを与式に代入すればいい、ということです。 |
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