【質問】数学(空間ベクトル):四面体の体積が等しくなるような点

〔質問〕
座標空間内に4点 A, B, C, D をとり、3点ABCを通る平面上に点Dから垂線DHを下ろす。
このとき次の条件を満たすEの座標を求めよ。
・HはAE上にある
・四面体ABCDの体積と四面体ABEDの体積は等しい
(※ 著作権の関係で問題を一部省略しています)
 
Hの座標はわかったのですが、この2つが分からないです。1はAE=kAHとおくんだろうなあと思うんですが、そこから分かりません。
解説をお願いします。。
〔回答〕
・1つ目の「HはAE上」というのは、質問文の通りのおき方でOKです
・四面体の体積は「底面積×高さ×(1/3)」で求まるわけですが、今回の場合、DH を「高さ」とみなせば、要は「△ABCの面積=△ABEの面積」となるような状況を考えればいいということです
 
これを踏まえてあらためて考えてみると、△ABC と △ABE について、同一平面上で「ABに対する高さが同じ」であればいいということになります。
さらに、その状況は、AB//CE となっていればいいことになります(図を書いて確認してみてください)
 
よって、点D は「直線AE」と「点C を通り、直線AB に平行な直線」の交点にあることがわかりますので、この交点をベクトルで求めればOKです

 

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