| 〔質問〕 4x2＋y2＋25z2－2xy－5zy－10xz＝0 が成り立つとき、x：y：z＝◻︎：◻︎：◻︎ となる。 という問題のやり方を教えてください。 |
| 〔回答〕 「２次式＝0」という方程式を解けという問題の場合、99％以上はふつうの解き方（因数分解、もしくは解の公式）をしますが、 ごくまれに A2＋B2＝0 や A2＋B2＋C2＝0 のような２乗の和の形に変形し、A2, B2, C2 のそれぞれが負になることはないため A＝0, B＝0, C＝0 しかありえない、という解き方をする場合があります（厳密には「A, B, C は実数なので」の注記が必要） 今回の問題を解くに当たっては、いきなりは気付けないと思いますので、まずは因数分解することを検討してもらったら構いません。 ですが、実際にはできないので、次の作戦として、A2＋B2＋C2＝0 型ではないのか？という思考回路で解いていくことになります。 方法としては、複数文字の場合の定石として、ある１つの文字に注目して変形します。例えば x に注目するなら、y, z は数字扱いします。 今回は因数分解ができませんので、次の選択肢として平方完成することを検討してください。 すると、{●x＋(●y＋●z)}2＋（y, z の２次式）＝0 という形に変形できると思いますが、今回は後ろの（y, z の２次式）の部分もうまく変形できて、A2＋B2＝0 型の式に変形できると思います。 その結果、A＝0, B＝0 しかありえない、という計算をしてもらったらOKです。 |
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