【質問】数学(中学):「角C=90度の直角三角形ABCの辺AB上に中心Oをとり…」という問題がわかりません

〔質問〕
「角C=90度の直角三角形ABCの辺AB上に中心Oをとり、2辺AC、BCに接するように円を書いたものである。AC=8cm、BC=4cm の時、円Oの半径を求めよ。」
全然わからないので、よろしくお願いします。

iPhoneアプリは、ないのですか?図を載せたいのですが…

〔回答〕
円を使った問題では、円の性質をきちんと使えるか?ということが問われています。
・円の半径は接線と直角に交わる
・円の半径の長さはその円の中ではどこでも等しい
などです。
分かっていても、問題に活かせないことが多いので注意しましょう。

今回の問題を図に表すと、以下のようになります。

11638

円Oは「中心がAB上にあり、ACとBCに接する」円ですので、OE=OC(半径)となります。
また、AC, BCは円Oの接線となるので、∠OEA=∠ODB=90°となります。(半径と接線は直角に交わる)
よって、「四角形ODCEは正方形である」とわかり、
OE=EC(=OD=DC)…① といえます。

また、
△ABCと△AOEにおいて、
∠BAC=∠OAE(共通)、∠ACB=∠AEO=90°より、
二組の角がそれぞれ等しいので、△ABC∽△AOE…② です。

相似な図形の対応する辺の比は等しいので、
②より AC:BC=AE:OE=8:4=2:1
AE:OE=AE:EC=2:1(①より)

AC=8なので、
EC=8×(1/3)=8/3
EC=OEですので、こちらが半径となります。

iPhoneアプリについては現在開発中で、春頃のリリースを予定しています。それまでの間は申し訳ありませんが、現在の形でお願いいたします

 

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