【質問】数学:一組の向かう内角の和が180°である四角形

〔質問〕
一組の向かう内角の和が180°である四角形は円に内接することを証明してください。
(対角の和=180° ⇒ 円に内接する)
〔回答〕
四角形ABCDについて、∠A=α、∠C=180°-α とします。
 
まず、点Cは無視して、△ABDの外接円を考えてみます(三角形の外接円は必ず存在します)。
このとき、点Aから見て辺BDの反対側に適当に点Eをうちます。
すると、四角形ABEDは円に内接していますので、∠E=180°-α となります。
 
※「円に内接する四角形 ⇒ 対角の和=180°」については、円周角の定理(中心角が2倍になる)を用いればすぐに示せますので、こっち方向の矢印(⇒)のことは使ってもらって差し支えありません。
 
すると、∠E=∠C(=180°-α)ということになります。
ここで「円周角の定理の逆(角が等しければ同一円周上にある)は成り立つ」ことを利用すれば、点Cは、点B,E,D の3点と同一円周上にあることになり、よって、点A,B,C,D(及びE)は同一円周上にあることになります。

 

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