【質問】数学:(x+1/x)の2乗+(y+1/y)の2乗の最小値について

〔質問〕
正の数 x, y が x+y=3 を満たして変化するとき、z=(x+1/x)2+(y+1/y)2 の最小値を求めよ。という問題で、相加・相乗平均より
(x+1/x)2 ≧4 … ①
(y+1/y)2 ≧4 … ②
したがって、①+② ≧8 となり、z≧8
ゆえに z の最小値は8である。
という風に解いたのですが、答えは違いました。どのように解いたらよかったのですか?
〔回答〕
まず、今回の問題では、x と y はそれぞれ独立して動くのではなく、x+y=3 という制約がありますから連動してしまいます。そういう事情がありますので、相加相乗で最小をとるはずの x=1 と y=1 は(足して3になってないので)同時に存在することができません。ですので、相加相乗は使うことができなかったのです。
(なお、これは必要条件にはなっている(十分条件ではないだけ)ため、今回の問題で求める答えが8未満になることはありえません)
 
※ 実際の解法については、いろいろ考えてみましたが、数Ⅲ範囲の微分を使って解くくらいの解法しか思いつきませんでした。もう少し考えてみます。
答えだけでよければ、この手の対称式は‘どうせ’ x=y のときに最小値(や最大値)を取りますから、x=y=3/2 のときの z=169/18 になるとは思います。

 

アンケートへのご協力をお願いします(所要2~3分)
「将来設計・進路」に関するアンケートを実施しています。ご協力いただける方はこちらよりお願いします
(Googleフォームにアクセスします)

当サイト及びアプリは、上記の企業様のご協力、及び、広告収入により、無料で提供されています