記事の詳細

【タイプ4】
そのままの状態では積分の公式に当てはめられないときでも、
x の関数を t の関数に置き換えることで、公式通りの計算ができる場合がある。
(1)無理関数の入った積分
(2)「合成関数の微分の逆」タイプ

このページでは(1)を紹介

\[ \int x \cdot \sqrt[3]{1+x \ } \ dx \]

手順
  \[ t= \sqrt[3]{1+x} \ \mbox{とおく。} \]  
【ここからすること】

① x の式を、すべて t の式に変える
\[ t= \sqrt[3]{1+x} \ \mbox{の両辺を3乗すると、} \] \[ t^3=x+1 \ \mbox{となり、} x=t^3-1 \]       ※ これを与式に代入する

② dx 部分を dt に変える
\[ x=t^3-1 \ \mbox{の両辺を t で微分すると、} \frac{ \ dx \ }{dt}=3t^2 \] \[ \mbox{∴} \ dx=3t^2 \ dt \] ※「dx」「dt」は、(2文字セットの上で)掛け算のように扱うことができ、dt 部分を右辺に持っていく
 

解答
  \[ \int x \cdot \sqrt[3]{1+x \ } \ dx \]   \[ =\int \left( t^{3} -1\right) \cdot t \cdot 3 t^{2} dt \]   \[ =\int \left(3 t^{6} -3 t^{3} \right) dt \]   \[ =\frac{ \ 3 \ }{7} t^{7} – \frac{ \ 3 \ }{4} t^{4} +C \]   \[ =\frac{ \ 3 \ }{7} (1+x) ^{2} \sqrt[3]{1+x} – \frac{ \ 3 \ }{4} (1+x) \sqrt[3]{1+x} +C \]   \[ \left(= \frac{3}{ \ 28 \ } (4x-7)(x+1) \sqrt[3]{1+x \ }+C\right) \]  

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