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【タイプ4】
そのままの状態では積分の公式に当てはめられないときでも、
x の関数を t の関数に置き換えることで、公式通りの計算ができる場合がある。
(1)無理関数の入った積分
(2)「合成関数の微分の逆」タイプ

このページでは(2)を紹介。

何をしているのか
例えば y=sin x2 を微分する場合、y’=cos x2 ではなく、さらに (x2)’ である 2x をかけて y’=2x・cos x2 となる。
これを逆に積分する際、2x 部分を取り除くことで y=sin x2(+C) に戻したい、というもの
 
 
【例題】
\[ \int \sin x \cdot \cos^{4}x \ dx \]
手順
【着眼点】
「どこかをかたまり(t)とみなしたときに、それの微分がかけられている状態」を探す。

今回は、分母の cos x をかたまり(t)とみなしたときに、その微分である sin x が式にくっついている状態になっている。
(cos x の微分は -sin x だが、係数は後で調整できるため、符号のことは一旦無視でいい)
 

解答
\[ t= \cos x \ \mbox{とおく。} \] \[ \mbox{両辺を t で微分すると、} \frac{ \ dt \ }{dx}=- \sin x \] \[ \mbox{∴} \ -dt=\sin x \ dx \] ※「dx」「dt」は、(2文字セットの上で)掛け算のように扱うことができ、dx 部分を右辺に持っていく

\[ \int \sin x \cdot \cos^{4}x \ dx \] \[ =\int \cos^{4}x \cdot \sin x \ dx \] \[ =\int t^{4} \times \left(-1\right) \ dt \] (sin x dx を -dt に置き換え。すると t の積分として、公式通りのものになる)

\[ =-\int t^{4} \ dt \] \[ =-\frac{1}{ \ 5 \ } t^{5} +C \] \[ =-\frac{1}{ \ 5 \ } \cos^{5} x+C \] (最後は x の式に戻す)
 

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