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【タイプ4】
そのままの状態では積分の公式に当てはめられないときでも、
x の関数を t の関数に置き換えることで、公式通りの計算ができる場合がある。
(1)無理関数の入った積分
(2)「合成関数の微分の逆」タイプ

このページでは(2)を紹介。

何をしているのか
例えば y=sin x2 を微分する場合、y’=cos x2 ではなく、さらに (x2)’ である 2x をかけて y’=2x・cos x2 となる。
これを逆に積分する際、2x 部分を取り除くことで y=sin x2(+C) に戻したい、というもの
 
 
【例題】
\[ \int \frac{2x}{ \ x^{2} +1 \ } \ dx \]
手順
【着眼点】
「どこかをかたまり(t)とみなしたときに、それの微分がかけられている状態」を探す。

今回は、分母の x2+1 をかたまり(t)とみなしたときに、その微分である 2x が式にくっついている状態になっている。
つまり、
\[ \int \frac{1}{ x^{2} +1} \times 2x \ dx \] というような見方をして、
1/t(x2+1=t より)に対して、2x がかけられていると捉える
 

解答
\[ \int \frac{2x}{ \ x^{2} +1 \ } \ dx \] \[ =\int \frac{1}{ x^{2} +1} \times 2x \ dx \]
\[ t= x^{2} +1 \ \mbox{とおく。} \] \[ t= x^{2} +1 \ \mbox{の両辺を t で微分すると、} \frac{ \ dt \ }{dx}=2x \] \[ \mbox{∴} \ dt=2x \ dx \] ※「dx」「dt」は、(2文字セットの上で)掛け算のように扱うことができ、dx 部分を右辺に持っていく

\[ =\int \frac{1}{ \ t \ } dt \] (2x dx を dt に置き換え。すると t の積分として、公式通りのものになる)

\[ =\log|t|+C \] \[ =\log|x^{2}+1|+C \] \[ =\log (x^{2} +1) +C \] (最後は x の式に戻す)
 

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